氢原子的轨道磁矩从何而来？《张朝阳的物理课》解密氢原子磁矩起源

原标题：氢原子的轨道磁矩从何而来？《张朝阳的物理课》解密氢原子磁矩起源

氢原子为何拥有内禀磁矩？它的第三个量子数为何又被称为磁量子数？量子力学的结果和经典力学的结果之间有对应的关系吗？

对概率流和氢原子的回顾

现代物理学美丽而奇特，有时又烧脑而不可捉摸。张朝阳希望，在他的物理课上，能够帮助听众从不同的角度、不同的维度去不断认识和发现物理，以求深刻而全面地理解物理学的内涵。在物理课上，我们可以从偏微分方程的角度，从扩散方程走到复系数的薛定谔方程；可以从量子力学的定态能级问题，走到对波包含时演化的讨论。

而在最近，张朝阳聚焦于量子力学的概率诠释，从概率密度和概率流的的角度，深入探讨这个微观世界中最神秘也最引人注目的概念。

回顾物理学史，德布罗意和薛定谔建立了波动力学形式的量子力学，指出微观粒子应该用一个波函数ψ(t,x)描述。而这种数学形式的物理解释则要归功于玻恩。玻恩在上世纪20年代提出了量子力学的概率诠释，认为波函数的模方刻画了我们在某时某地找到粒子的概率密度

同时，概率密度也是在“流动”的。为了描述这种“流动”，上一节课中张朝阳引入了概率流（Probability flux）的概念，对一个三维系统

利用概率流，可以验证到，粒子在阶梯势场中的散射同样满足粒子数守恒或者说概率守恒。

历史上，量子力学最成功的应用是对氢原子能级的计算。在前面的物理课上，张朝阳曾经详细地讨论过这个问题。在具体计算中，可以将质子与电子的二体问题等效为一个具有约化质量

的粒子，在库伦势场

中运动，进而求解哈密顿量

本征值以及对应的本征函数。前面的课程中，张朝阳求到，氢原子的本征函数是

其中A是归一化系数，P是勒让德函数。这个本征函数是归一的，而且由于我们在计算过程中利用了分离变量法，一般要求角度部分和径向部分都是归一的。也即是积分

以及

在约化后，氢原子系统有三个自由度，所以需要构成完备集的三个取值只能为整数的量子数来标记。它们是主量子数n，角量子数l和磁量子数m。其中角量子数可以取从0到n - 1之间的任意整数，而磁量子数的取值被限制在-m到m之间。比如典型的取值如下

氢原子轨道磁矩的计算

注意到，在氢原子的本征函数中，除了一个复相位外，其余都是实函数。延续上一节课中的用过记号，我们将实数部分统一记为

张朝阳已经计算过，这样一个态对应的概率流密度为

在电磁学中，一个电流为I电流环的磁矩是一个方向为法向，强度

的矢量。这里S是电流所围面积（图中阴影部分）的大小。

回到氢原子，如图所示，在固定球坐标(r, θ)处的电流分布可以视为一个微小的电流环。

它对应的电流强度可以理解为通过该点附近的一个小面元的电流通量，即

在极坐标下，一个小面元的面积可以看成该点处一段小弧长和一个小径向位移的乘积，法方向自然取ϕ方向

于是有

这个环的半径是球半径的投影 r sinθ，于是它所产生的，在z轴方向上的磁矩大小为

而整个氢原子在z方向上的磁矩，可以认为是一连串的小环形电流所诱导的磁矩的叠加。在这里，叠加等价于磁矩微元对r和θ做积分

注意到电流密度分布与ϕ无关，利用

我们可以在上面的计算中补全一个对辐角的积分，即

前面回顾氢原子的时候已经知道，这两个积分结果都是单位1，于是

在未来的课程中，我们还将会看到自旋产生的磁矩有相似的计算公式

其中的差别仅在一个因子g。对于轨道磁矩，它取值为1；对于自旋磁矩，有g = 2。

与经典电子轨道模型的对应

上一节中，通过对概率流的讨论给出了氢原子轨道磁矩的起源。事实上，上面的计算和讨论是一个半经典的讨论。所谓“半经典”，在于对电子运动的处理是基于量子力学的，但是对磁矩的计算依照的仍然是经典的电磁学方法。

作为对照，张朝阳希望再从纯经典的角度验证磁矩的计算公式。我们知道，历史上对氢原子结构的认知有一个简单的玻尔模型。它假设电子会在给定的圆轨道上不断绕转，通过一定的计算，可以得到相应的轨道半径。

这个半径被称为玻尔半径，在量子力学建立后被成功地严格证明。这说明一来，经典力学的结果与量子力学的结果之间有天然的对应关系，二来良好的模型应该能给出自洽的好结果。

为了更好地看到这种经典力学和量子力学的对应关系，取玻尔模型，也就是一个电荷围绕着原子核运动。这个运动同样可以看成一个环流。注意这里与上面计算的不同在于，基于量子力学计算需要考虑无数小环流的叠加，而经典的轨道模型只有单个环流。假设总电荷均匀地分布在环上，此时环流上电荷的线密度为

对应电流

此时计算磁矩

在分子分母同时引入电子的约化质量，有

可以得到同样形式的表达式。

（张朝阳从玻尔模型推导轨道磁矩公式）

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本节课相关视频如下：

氢原子的概率流、电流密度与磁矩

外磁场对氢原子的作用

氢原子的磁矩计算