撞墙之后高斯波包如何折返？《张朝阳的物理课》解密高斯波包的传播过程

原标题：撞墙之后高斯波包如何折返？《张朝阳的物理课》解密高斯波包的传播过程

一个具有初速度的微观粒子如何运动？粒子面对高墙如何回头？单个的微观粒子会自涉吗？

对自由粒子演化问题的回顾

那么此后任意t > 0时刻，它的演化就已经被唯一地确定了。

研究方程具体的解时，可以方便地引入两个空间的概念。第一个空间是k空间，一般又被称为“动量空间”；另一个空间是x空间，也称为“坐标空间”。一个微观粒子的状态，既可以用k空间上的波函数描述，也可以用x空间上的波函数描述，两者之间通过傅里叶变换相互联系。一个简单的例子是一个平面波：

它同时是动量算符和哈密顿量算符的本征函数。如果在初始时刻，一个粒子是这样一个平面波，随后它的演化就只有一个含时相位的差别：

其中与能量相关的：

这个关系又被称为薛定谔方程的色散关系，它刻画了波函数演化的行为特征。

但张朝阳提醒大家，如果一个粒子处在平面波的状态，我们将完全无法确定它的位置。而在自然界中，一个真实的粒子我们总能给出它所在的一个大概范围，同时它所具有的动量也会有一个大致的范围，两者同时都是不确定的。这即是我们常常提到的不确定性原理，用数学来表达就是：

其中，系数：

给出了在初始时刻的波函数如何由动量本征态叠加而成。

于是可以知道：

这里利用到了前几节课上一直在强调的转换为高斯积分的技巧。如果记：

则又可以将结果简写为：

它对应概率密度：

与具体的空间坐标x无关。在前面的课程中，张朝阳对此做出过解释：因为这样一个粒子由无数个、任意速度的、平权的动量本征态组合而成，其中包含了有无穷大的速度的成分，在一瞬间它将会跑到无穷远的地方。因为目前我们考虑的是非相对论性的量子力学，所以在这里出现无限大的速度也并不奇怪。

得到单个δ函数的演化后，我们可以认为在每个空间点上都有一个δ函数，最后的演化结果是它们各自独立演化结果的叠加：

代入静止高斯波包作为初始条件，可以计算到：

它对应的概率密度为：

它也是一个高斯分布。加上含时相位后叠加得到：

向前运动的高斯波包的自由演化

在前面的课程中，我们考虑了静止的高斯波包的演化行为，也讨论过经典的波包的传播行为，介绍了群速度和相速度的概念。现在自然就可以问一个问题：如果初始时刻，一个高斯波包带有不为零的群速度：

它应该如何演化呢？首先前面的课程中已经分析过，因为一个波包刻画的是一个微观粒子，群速度恰好可以与它的经典速度对应，所以首先可以期望这个波包应该在向前传播。但是，我们又分析过，借鉴经典波动力学的经验，直接替换：

于是可以给出：

在这个基础上，我们可以将含时相位加入，然后作积分：

这里我们用了变量替换，将原本对k的积分转变为对：

是一致的，仅相差一个代换：

事实上，这一点也符合我们的预期。利用静止波包的计算结果，立刻可以得到：

对应的概率密度为：

正如前面定性分析得到的结果，它即在向前传播，同时整个波包的宽度也在逐渐变大。

高斯波包的反弹与自涉

有了自由传播的高斯波包的解，我们就能讨论一个更有意思的问题。如图，假设在x ≥ l处有一堵无限高的墙，而初始时刻，在原点处有一个具有群速度：

向右传播的高斯波包，它在传播时不可避免地会撞到墙上，接下来会发生什么事情呢？

首先分析加入墙带来的影响，由之前我们解无限深方势阱的经验可以知道，无限高的墙意味着：

这一个边界条件，而在x < l部分，波函数的演化同样遵循自由粒子的薛定谔方程。其次，回忆之前我们求解热传导问题时候用过的“奇延拓”的技巧，我们可以这样求解这个问题：首先我们将墙“压缩”到一个点上，然后假设整个系统以墙为轴是对称的。换句话说，假设在墙的“另一面”也是自由的：

如果墙的左侧有一个波包：

在墙对称的位置处会有一个完全相同，但运动方向相反的波包：

而我们想要求解的波函数是它们的叠加：

它会自然满足边界条件：

从前面的计算中，我们已经可以给出：

对于右侧的波包，我们希望能够在这个基础上，通过一些简单的变化来得到相应的数学表达。首先，它顶点的位置和左侧的波包关于墙对称，于是需要有替换：

其次，两者相对而行，所以它们的群速度或者说初始的波数之间应该满足变换：

这样，我们就得到：

把这两个波函数组合起来，经过一定的整理后，可以得到：

对这个式子稍作分析。首先我们假设l很大，也就是t = 0时刻，波包应该在距离墙非常远的地方，以至于感受不到墙的存在。此时：

显然有：

此时近似地只有左侧波包有贡献：

可以看成是一个自由向右传播的波包。另一方面，同样保持l很大这一假设，考虑在很长一段时间后（t → +∞），有：

于是有：

正相反，此时近似只有右侧波包有贡献：

也就是可以将其看成是一个自由反向传播的波包。换句话说，也可以这样解释“奇延拓”技巧，左边的波包即使来向的原始波包，右边的波包即是被墙反弹之后去向的反射波包，总的波包是它们二者的叠加。

图上我们将“墙”设置在x = l = 100处，时间取动画帧数标记。不难看到，在经典碰撞事件附近，同一个粒子的原始波包和反射波包之间会产生强烈的相互干涉，产生类似于光学中“干涉条纹”的现象。

本节课相关视频如下：

运行高斯波包的波函数计算

运动高斯波包的反射

有障碍物存在的数学描述