在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6）．动点P自原点O向A点运动，速度为1个单位\/秒；动点Q自原点O沿折线O-B-A运动，速度为2个单位\/秒；P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，P点到达A点时终止运动．（1）当Q点在线段BA上运动时，请直接用t表示Q点的坐标．（2）当t＞3时，求tan∠QPO的值．（3）在整个运动过程中是否存在这样的t值，使得△OQP是直角三角形 如果存在，请求出t的取值范围或相应的t值；如果不存在，请说明理由．（4）当t为何值时，△O

【解答】解：（1）如图1，点Q在线段AB上，设Q（a，b）．过点Q作QC⊥OB于点C，过点Q作QD⊥OA于点D．∵点A（8，0），点B（0，6）．∴OB=6，OA=8．∴在Rt△AOB中，根据勾股定理求得AB=10．∵CQ∥OA，∴∠1=∠2，∴cos∠1=cos∠2，即OAAB=CQBQ，∴810=a2t-6，解得，a=8t-245．又∵sin∠2=OBAB=b10-(2t-6)，即610=b16-2t，解得b=48-6t5，∴Q点坐标为（8t-245，48-6t5）；（2）如图1，当t＞3时，点Q在线段AB上．由（1）知，OD=a=8t-245∴PD=OP-OD=t-a=24-3t5，又由（1）知，QD=b=48-6t5，∴tan∠QPO=QDPD=48-6t524-3t5=2，即tan∠QPO=2；（3）当点Q在OB边上运动时，△OQP总是直角三角形，此时0＜t≤3；当点Q在边BA上运动时，如图1，只有∠OQP=90°，过Q点作QH⊥OA，垂足为H，则tan∠QPO=tan∠OQH=OHQH=2，∴8t-245：48-6t5=2，解得t=6．∴当0＜t≤3或t=6时，△OQP是直角三角形；（4）当OQ=PQ时，易求t=4811；当OQ=OP时，如图3，过O点作OM⊥PQ，垂足为M；过Q点作QH⊥OP，垂足为H．设HP=x，则QH=2x，QP=5x，QM=PM=52x，OM=5x，OP=52x，OH=32x，∴OH：OP=3：5，8t-245：t=3：5解得t=4.8．当t=4811或4.8时，△OPQ是以OQ为腰的等腰三角形．