在平面直角坐标系$xOy$中函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象关于$y$轴对称它们与直线$x=t\left(t（\gt 0\right)$分别相交于点$P$$Q$.$(1)$如图函数$F_{1}$为$y=x+1$当$t=2$时$PQ$的长为______；$(2)$函数$F_{1}$为$y=\frac{3}{x}$当$PQ=6$时$t$的值为______；$(3)$函数$F_{1}$为$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$①当$t=\frac{{\sqrt{b}}}{b

想必现在有很多小伙伴对于在平面直角坐标系$xOy$中，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象关于$y$轴对称，它们与直线$x=t\left(t \gt 0\right)$分别相交于点$P$，$Q$.$(1)$如图，函数$F_{1}$为$y=x+1$，当$t=2$时，$PQ$的长为______；$(2)$函数$F_{1}$为$y=\frac{3}{x}$，当$PQ=6$时，$t$的值为______；$(3)$函数$F_{1}$为$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①当$t=\frac{{\sqrt{b}}}{b}$时，求$\triangle OPQ$的面积；②若$c \gt 0$，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象与$x$轴正半轴分别交于点$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，当$c\leqslant x\leqslant c+1$时，设函数$F_{1}$的最大值和函数$F_{2}$的最小值的差为$h$，求$h$关于$c$的函数解析式，并直接写出自变量$c$的取值范围.","title_text":"在平面直角坐标系$xOy$中，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象关于$y$轴对称，它们与直线$x=t\left(t \gt 0\right)$分别相交于点$P$，$Q$.$(1)$如图，函数$F_{1}$为$y=x+1$，当$t=2$时，$PQ$的长为______；$(2)$函数$F_{1}$为$y=\frac{3}{x}$，当$PQ=6$时，$t$的值为______；$(3)$函数$F_{1}$为$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①当$t=\frac{{\sqrt{b}}}{b}$时，求$\triangle OPQ$的面积；②若$c \gt 0$，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象与$x$轴正半轴分别交于点$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，当$c\leqslant x\leqslant c+1$时，设函数$F_{1}$的最大值和函数$F_{2}$的最小值的差为$h$，求$h$关于$c$的函数解析式，并直接写出自变量$c$的取值范围.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于在平面直角坐标系$xOy$中，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象关于$y$轴对称，它们与直线$x=t\left(t \gt 0\right)$分别相交于点$P$，$Q$.$(1)$如图，函数$F_{1}$为$y=x+1$，当$t=2$时，$PQ$的长为______；$(2)$函数$F_{1}$为$y=\frac{3}{x}$，当$PQ=6$时，$t$的值为______；$(3)$函数$F_{1}$为$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①当$t=\frac{{\sqrt{b}}}{b}$时，求$\triangle OPQ$的面积；②若$c \gt 0$，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象与$x$轴正半轴分别交于点$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，当$c\leqslant x\leqslant c+1$时，设函数$F_{1}$的最大值和函数$F_{2}$的最小值的差为$h$，求$h$关于$c$的函数解析式，并直接写出自变量$c$的取值范围.","title_text":"在平面直角坐标系$xOy$中，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象关于$y$轴对称，它们与直线$x=t\left(t \gt 0\right)$分别相交于点$P$，$Q$.$(1)$如图，函数$F_{1}$为$y=x+1$，当$t=2$时，$PQ$的长为______；$(2)$函数$F_{1}$为$y=\frac{3}{x}$，当$PQ=6$时，$t$的值为______；$(3)$函数$F_{1}$为$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①当$t=\frac{{\sqrt{b}}}{b}$时，求$\triangle OPQ$的面积；②若$c \gt 0$，函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象与$x$轴正半轴分别交于点$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，当$c\leqslant x\leqslant c+1$时，设函数$F_{1}$的最大值和函数$F_{2}$的最小值的差为$h$，求$h$关于$c$的函数解析式，并直接写出自变量$c$的取值范围.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

$left(1right)because F_{1}$：$y=x+1$，$F_{1}$和$F_{2}$关于$y$轴对称，$therefore F_{2}$：$y=-x+1$。

分别令$x=2$，则$2+1=3$，$-2+1=-1$。

$therefore Pleft(2,3right)$，$Qleft(2,-1right)$，$therefore PQ=3-left(-1right)=4$。

故答案为：$4$；$(2)because F_{1}$：$y=frac{3}{x}$，可得：$F_{2}$：$y=frac{-3}{x}$，$because x=t$。

可得：$P(t$，$frac{3}{t}$），$Q(t$。

$frac{-3}{t})$，$therefore PQ=frac{3}{t}-frac{-3}{t}=frac{6}{t}=6$，解得：$t=1$。

经检验：$t=1$是原方程的解，故答案为：$1$；$(3)$①$because F_{1}$：$y=ax^{2}+bx+c$，$therefore F_{2}$：$y=ax^{2}-bx+c$。

$because t=frac{sqrt{b}}{b}$，分别代入$F_{1}$，$F_{2}$。

可得：$P(frac{sqrt{b}}{b}$，$frac{a}{b}+sqrt{b}+c$），$Q(frac{sqrt{b}}{b}$。

$frac{a}{b}-sqrt{b}+c)$，$therefore PQ=|frac{a}{b}+sqrt{b}+c-(frac{a}{b}-sqrt{b}+c)|=2sqrt{b}$，$therefore S_{triangle OPQ}=frac{1}{2}×2sqrt{b}×frac{sqrt{b}}{b}=1$；②$because $函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象与$x$轴正半轴分别交于点$Aleft(5,0right)$。

$Bleft(1,0right)$，而函数$F_{1}$和$F_{2}$的图象关于$y$轴对称，$therefore $函数$F_{1}$的图象经过$Aleft(5,0right)$和$left(-1,0right)$。

$therefore $设$F_{1}$：$y=aleft(x+1right)left(x-5right)=ax^{2}-4ax-5a$，则$F_{2}$：$y=ax^{2}+4ax-5a$，$therefore F_{1}$的图象的对称轴是直线$x=2$。

且$c=-5a$，$therefore a=-frac{c}{5}$，$because c gt 0$。

则$a lt 0$，$c+1 gt 1$，而$F_{2}$的图象在$x gt 0$时。

$y$随$x$的增大而减小，当$0 lt c lt 1$时，$F_{1}$的图象$y$随$x$的增大而增大。

$F_{2}$的图象$y$随$x$的增大而减小，$therefore $当$x=c+1$时，$y=ax^{2}-4ax-5a$的最大值为$aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-5a$。

$y=ax^{2}+4ax-5a$的最小值为$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$，则$h=aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-5a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]=-8ac-8a$，又$because a=-frac{c}{5}$。

$therefore h=frac{8}{5}{c}^{2}+frac{8}{5}c$；当$1leqslant cleqslant 2$时，$F_{1}$的最大值为$frac{4a×(-5a)-(-4a)^{2}}{4a}=-9a$，$F_{2}$的图象$y$随$x$的增大而减小。

$therefore F_{2}$的最小值为：$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$，则$h=-9a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]=-aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-4a=-ac^{2}-6ac-9a$，又$because a=-frac{c}{5}$。

$therefore h=frac{1}{5}{c}^{3}+frac{6}{5}{c}^{2}+frac{9}{5}c$，当$c gt 2$时，$F_{1}$的图象$y$随$x$的增大而减小。

$F_{2}$的图象$y$随$x$的增大而减小，$therefore $当$x=c$时，$y=ax^{2}-4ax-5a$的最大值为$ac^{2}-4ac-5a$。

当$x=c+1$时，$y=ax^{2}+4ax-5a$的最小值为$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$，则$h=ac^{2}-4ac-5a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]$。

又$because a=-frac{c}{5}$，$therefore h=2c^{2}+c$；综上：$h$关于$x$的解析式为：$h=left{begin{array}{l}{frac{8}{5}{c}^{2}+frac{8}{5}c(0＜c＜1)}{frac{1}{5}{c}^{3}+frac{6}{5}{c}^{2}+frac{9}{5}c(1≤c≤2)}{2{c}^{2}+c(c＞2)}end{array}right.$.。

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