能量不足的粒子还能渗进势垒？《张朝阳的物理课》解密粒子在阶梯势场中的运动

原标题：能量不足的粒子还能渗进势垒？《张朝阳的物理课》解密粒子在阶梯势场中的运动

能量不够了，粒子还能越过阶梯势垒吗？被反弹的粒子为何不在势垒表面直接起跑？如何理解反射中出现的相位偏移？

粒子能量小于阶梯势垒高度时的全反射过程

在前两次课上，张朝阳还引入了概率流的概念。利用概率流，张朝阳研究了在一个阶梯势场中的运动。

“阶梯势场”是指在粒子传播过程中会遇到一个有限高的台阶（如图所示），当粒子的能量E大于势垒的高度V时，粒子可以“部分地爬上阶梯”继续传播，同时也有概率反射回去。在完成了计算后，张朝阳自然地想到一个问题：如果在势场中，粒子的能量E < V时，粒子又将会怎么运动呢？

为了回答这个问题，我们首先要回顾在阶梯势场中解薛定谔方程的过程。从图像很容易看出来，阶梯势场把整个空间划分成了两个片区。如果仍然暂且假定E > V，在x < 0的片区解薛定谔方程，我们得到波函数

其中

注意在这里为了计算简便，我们用定态来建模运动的粒子——而不是一个具体的波包。波函数中相加和的两项具有符号相反的波数，可以认为他们分别代表了向右传播的入射部分，以及向左传播的出射部分。而在x > 0的片区，我们取波函数

其中

在这里，考虑到我们的研究对象是一个从左侧入射的粒子，在右半部分，基于物理的考虑，波函数不应该存在向左传播的部分。利用波函数及其导函数应该在阶梯x = 0处保持连续这一边界条件，可以列出方程

可以解得

利用这个结果，即可以验证粒子传播过程中的概率流守恒。具体的计算细节我们已经在之前的课程中充分讨论过，在这里不再赘述。

张朝阳注意到，在上面的计算过程中我们并没有特别地依赖于所假设的能量条件E > V。换句话说，如果此时我们将条件换为E < V，具体的解法、最后得到的波函数和相应的结果会保持同样的形式。而细节上，注意到由于平方根的存在，能量条件的改变会使越过阶梯后波函数的“波数”变为虚数

这里我们可以重新定义正实数

相应地波函数的解改写为

当α前面取正号时，波函数在无穷远处会发散，是一支非物理的解。因此，我们知道在x > 0部分，波函数应取为

可以看到，在台阶一边，粒子的波函数不再是传播的，而是衰减的。这是因为粒子的能量不够，不足以让它“跃上台阶”继续传播到右方无穷远处。此时，根据概率流守恒，应该期望这个粒子会被阶梯势垒完全反射。

为了验证这一点，我们要具体地计算波函数的振幅。通过上面的计算我们可以看到，改变能量条件等价于替换

为了给两种情况作区分，我们重新记

将替换应用到振幅的计算公式上，有

回想复数的基本知识，如图所示，复数可以与复平面上的向量一一对应，而向量又可以用模长和辐角标记。

将复数k - iα用模长和幅角重新表达，有

其中模长

而幅角满足

于是

计算可得粒子的反射率为

即粒子确实被势垒完全反射回去了。

计算出振幅之后，在x > 0区域的波函数为

处，这个宽度又称为渗透宽度。这种渗透会伴随波函数一个额外的相位偏移

波包在阶梯势垒中的驻留和延迟相位的物理意义

给定能量E，或者说对应的动量k，在x < 0区域的定态解为

现在我们来考虑一个波包，它是一系列定态按照某种系数的叠加

这里注意不单频率ω，相移θ同样也是k的函数。为了简化计算，我们利用前面讨论群速度时用过的技巧，假设ϕ是一个狭窄的函数，仅在

附近一个大小为Δk的区间上不为0。为了和前面的讨论保持一致，我们还要求中心点对应的能量

因为波包是狭窄的，积分仅在一个小区域上有意义，所以可以取

代入到波包的表达式中，先看入射的部分

我们曾经用这个方法讨论过群速度的定义，关键在于把下标带0的部分提到积分外，然后将积分换元为对变量Δk的积分

对物质波，他对应了粒子的经典运动速度。

现在再看反射部分，利用同样的思路，可以计算到

在积分号外的部分是一个有相位移动的平面波。再看振幅部分，同样我们取其上满足关系

标记的一点。

利用辐角的定义

对两边求微分，可以得到

所以公式中

代入点的运动方程中，可以将其写为

这里我们用到了复平面上的几何关系。从运动方程中，我们能注意到它需要

的时间从阶梯内出来，重新回到x < 0部分，然后继续向左方运动。如果定义

可以改写

所以延迟时间

它意味着粒子的反射波确实在阶梯内部驻留了一段时间，形成物理意义上的反射波。这个驻留的时间差体现在波函数上，即在计算中得到的额外的相位偏移，所以我们又称之为延迟相位。

（张朝阳推导反射波包的延迟时间）

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本节课相关视频如下：

波包入射的情况

反射波包的延迟

入射波包的群速度