如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使点A'与点B之间的距离A′B=3．（1）求证：BA′⊥平面A′CD；（2）求二面角A′-CD-B的大小；（3）求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值．","title_text":"如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使点A'与点B之间的距离A′B=3．（1）求证：BA′⊥平面A′CD；（2）求二面角A′-CD-B的大小；（3）求异面

【解答】（本小题满分12分）解（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=3，∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．-------------------------（4分）（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角A′-CD-B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，∴∠A′DB=60°，即二面角A′-CD-B为60°．---------（8分）（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角．∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=12又∵在Rt△ACB中，AC=AD•AB=3∴A′C=AC=3∴cos∠CA′E=A′EA′C=123=36，即A′C与BD所成角的余弦值为36．---------（12分）