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洛伦兹变换可以看成某种时空转动?《张朝阳的物理课》回顾狭义相对论

2023-11-13 17:36:02来源:
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原标题:洛伦兹变换可以看成某种时空转动?《张朝阳的物理课》回顾狭义相对论

动钟变慢动尺变短,这些都可以通过洛伦兹变换推导出来。但洛伦兹变换有什么更深刻的内涵吗?为什么物理学家说它是时空的转动?11月12日12时,《张朝阳的物理课》第一百八十六期开播,搜狐创始人、董事局兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先回顾了狭义相对论中的经典效应,再从时空间隔不变量出发,说明时间和空间互相耦合,但可以用类似欧式空间的转动的方式重新分解。

回顾洛伦兹变换,长度收缩和时间膨胀

假设有两个参考系S和S’,S’相对S有一个向右的移动速度v,在零时刻,两参考系的坐标原点重合,坐标轴互相平行。

在只考虑一个空间维度x和时间t的情况下,两坐标系之间的洛伦兹变换是

其中

如果要考虑随着S’系一起运动的物体的时间流速,就要利用物体在S’系中的坐标x’不变的性质,写出S’系中的时间t’和坐标x’变换到S系中时间t的关系

这是洛伦兹变换的逆变换。在这里,S'系中的坐标x'是一个固定值,所以在考虑AB两个事件时,x_A'=x_B',那么在对时间作差时这一项就会互相减掉

因为γ>1,所以在S系测到的时间比在S’系测到的时间更长,这就是运动物体的时间膨胀。

如果要考虑随S’系一起运动的物体的长度变化,就要抓住长度的定义。当人们在说长度的时候,其实是在说一个物体两端的坐标在同一时刻的差,但“同一时刻”对于不同的参考系而言是不同的,因此,在考虑物体在S系的长度时,就要限定是在S系同一时刻下,对物体两端的坐标进行测量。

以一根原长为l的尺子为例,当它随S’系一起运动时,尺子的端点①和端点②在S’系中有固定的坐标x1'=0,x2'=l,所以它在S’系的长度就是l。但在S系中,尺子的两个端点会随时间推移出现在不同的坐标x1和x2上,所以在S系考虑尺子的长度时,一定是选取在S系看来相同的时刻,对端点①出现在x1和端点②出现在x2两个事件做观测。换句话说,这两个事件在S系的视角下同时发生,t1=t2。从S系到S‘系的洛伦兹变换是

对于S’系而言,这两个事件其实是不同时的,但这没有关系,因为对于在S’系中静止的端点①和端点②恒有x1'=0,x2'=l。对洛伦兹变换的两式做差得到

这说明在相对物体运动的S系看来,它在运动方向上的长度L_S比原长l更短,这就是运动物体的长度收缩。

时间膨胀和长度收缩对解释大气μ子问题是至关重要的。大气μ子是由宇宙射线撞击到地球大气高层的气体分子产生的,这种撞击大约发生在1万米处的高空。μ子的半衰期是2.2微秒,速度可以达到0.998c。如果按常规方法来算,它只能穿越六百多米的大气,无法被地面观测站接收到,但实际情况是人们可以在地面接收到大气μ子。

这个问题考虑相对论效应就可以解释,以地球参考系来看,μ子的半衰期会膨胀16倍,这样就有足够的时间穿过大气来到地面。以μ子参考系来看,地球大气的厚度会收缩为原来的1/16,这样也可以在2.2微秒内穿过。两种参考系的视角是互相吻合的。

通过欧几里得空间的旋转不变量 类比闵氏时空的时空间隔不变量

张朝阳讲解道,洛伦兹变换可以视为闵氏时空的伪转动。如何理解这种伪转动呢?不妨先回顾一下在欧几里得空间中旋转的情景,

在二维空间中有一个矢量r,它在原坐标系中的坐标是(x,y),与x轴的夹角为θ,

现在将坐标系旋转角度ϕ,经过这个旋转变换得到矢量r的另一个坐标

或者写成

转动之后矢量的长度并不发生改变,依然有

现在再来考虑洛伦兹变换,它是光速不变结果下的产物,所以在把时间和空间组合成时空坐标时,自然会想到要把时间坐标乘以一个光速c以统一量纲,也就是说,四维时空坐标应该具有(ct,x,y,z)的形式。那么,这个坐标在洛伦兹变换下有没有类似于在空间旋转下不变的“长度”呢?答案是有的,不同参考系下光速不变,S系下的x=ct在S'系下会变成x'=ct',这就启发人们构造这样一个不变量,称为时空间隔:

构造出这样一个时空间隔后,该如何说明它在任何惯性参考系下都是不变量呢?可以想象这样一个情景,在二维空间的原点处有一个光源向上发射了一束光,光在静止系S0中经过时间τ来到y轴上的某点,该点在静止系的二维空间坐标为(0,cτ)。

在S0系外另有一个参考系S_u,它相对静止系S0以u的速度向x轴负方向运动,光在这个参考系中花费了时间t_u来到了空间坐标(x_u,cτ)。从光速不变可以知道,光所走的路径长度是ct_u,也就是下图中直角三角形的斜边长。利用直角三角形的勾股定理,可以得到

对于相对静止系S0以v的速度向x轴负方向运动的参考系S_v,也有相同的结果

这说明三个参考系下的时空间隔是一样的,它们都具有形式

这个形式只在没有被引力弯曲的平直时空中成立,它最早由俄裔德国数学家闵可夫斯基提出,所以平直时空也被称为闵氏时空。

导出闵氏时空的伪转动,验证时空间隔的不

上一节,张朝阳将时空间隔写成了空间坐标平方减去时间平方的二次型,如果用矩阵的方式来写,可以把时间前面的负号提出来

时空坐标中间夹着的矩阵称为度规。一开始,爱因斯坦对这种形式并不重视,认为只是换了一种数学书写方式,但后来在发展广义相对论时,他逐渐意识到度规是描述时空弯曲的有力的工具,之后的课程将对此做进一步介绍。回到时空间隔,s的平方是一个负数,这说明s是一个虚数,引入虚数单位i,记s的虚部为a,有

这个形式的时空间隔长得就很像欧几里得空间的矢量长度了,欧式时空有矢量方向角,那么闵氏时空有没有类似角度的参量呢?可以先做一个尝试,把时间和空间视为时空间隔在某种角度下的投影,写为

第一个式子两边都是虚数,但第二个式子左边是实数,右边是虚数,这样是没有意义的。好在数学上有双曲函数

所以不妨将角度变成一个虚数参量,θ→iθ,将三角函数换成双曲函数

这里的θ相当于假想的转动角的虚部。写成这个形式之后,方程两边都是实数,说明参量θ是可以将时空间隔用双曲函数投影成时间分量和空间分量的,但它不是欧式空间中的三角函数,因此只能说在形式上可以看成某种伪转动。如果在此基础上把时空坐标(ct,x)再伪转动一个参量ϕ,变成另一个时空坐标(ct',x')。根据双曲函数的运算规则,新的时空坐标是

新旧坐标的变换可以用矩阵形式写成

将其中的变换矩阵记为R,时空坐标记为X,可以简写为

之前的推导都建立在时空间隔是不变量的基础上,反过来,也可以验证伪转动下时空间隔是保持不变的。原始的时空间隔是

经过伪转动后

其中

所以,伪转动后时空间隔依然是

由此验证了时空间隔在伪转动变换前后保持不变。

目前看来,伪转动是一种将时空间隔分解成时间分量和空间分量的形式参量。那么伪转动有什么更具体的物理含义吗?不妨设想有一个固定在S'系原点处随S'系一起运动的物体,它在S'系的坐标恒为0,

所以

从这个式子可以知道,伪转动的参量ϕ和坐标系之间的相对速度有关,因此ϕ也被称为快度(rapidity)。还可以继续算出

代入时空坐标变换公式,得到

所以,伪转动正是洛伦兹变换!

据了解,《张朝阳的物理课》于每周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频;此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

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